解决思路

本题的核心是计算激光光束在等边三角形内的反射路径总长度。激光从点 $P$ 出发，沿着平行于 $BC$ 的方向传播，并在镜子上反射，直到最终返回激光枪并被吸收。为了计算路径总长度，我们需要分析光束的反射规律，并找到一种数学方法来描述其路径。

1. 几何分析：

   • 等边三角形的边长为 $N=2025$，顶点为 $A$、$B$ 和 $C$。
   • 激光从 $AB$ 边的点 $P$ 出发，$AP = X=224$，因此 $PB = N - X = 1801$。
   • 光束沿着平行于 $BC$ 的方向传播，这意味着它的初始方向与 $BC$ 平行。

2. 反射规律：

   • 当光束遇到镜子时，它会按照反射定律反射，即入射角等于反射角。
   • 由于等边三角形的对称性，光束的反射路径会在三角形内形成一系列平行于 $BC$ 的线段。

3. 路径总长度计算：

   • 光束的路径可以分解为一系列线段，这些线段的长度与初始线段 $PB$ 相关。
   • 通过递归或数学公式，可以计算出所有线段的总长度。

算法解释

为了计算光束路径的总长度，我们使用以下算法：

1. 递归函数 $f(a, b)$：

   • 该函数用于计算光束在反射过程中路径的总长度。
   • 如果 $a > b$，交换 $a$ 和 $b$，确保 $a$ 是较小的数。
   • 计算 $d = b / a$，即 $b$ 能被 $a$ 整除的次数。
   • 如果 $b$ 能被 $a$ 整除，则返回 $(2 \times d - 1) \times a$。
   • 否则，返回 $d \times 2 \times a + f(a, b \% a)$，递归处理余数部分。

2. 主函数：

   • 读取输入 $N$ 和 $X$。
   • 调用函数 $f(X, N - X)$，并将结果与 $N$ 相加，输出最终结果。

代码详解

以下是标准代码的详细解释：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long f(long long a, long long b) {
    if (a > b) swap(a, b); // 确保 a 是较小的数
    long long d = b / a; // 计算 b 能被 a 整除的次数
    if (b % a == 0)
        return (2 * d - 1) * a; // 如果 b 能被 a 整除，返回结果
    return d * 2 * a + f(a, b % a); // 否则，递归处理余数部分
}

int main() {
    long long n, x;
    cin >> n >> x; // 读取输入 N 和 X
    cout << n + f(x, n - x) << endl; // 计算并输出结果
    return 0;
}

1. 函数 $f(a, b)$：

   • 该函数通过递归计算光束路径的总长度。
   • 每次递归都会将问题规模缩小，直到 $b$ 能被 $a$ 整除。

2. 主函数：

   • 读取输入 $N$ 和 $X$。
   • 调用 $f(x, n - x)$ 计算路径长度，并将结果与 $N$ 相加，输出最终结果。

转换代码

以下是转换为 Java 和 Python 的代码：

Java 代码：

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static long f(long a, long b) {
        if (a > b) {
            long temp = a;
            a = b;
            b = temp;
        }
        long d = b / a;
        if (b % a == 0)
            return (2 * d - 1) * a;
        return d * 2 * a + f(a, b % a);
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        long n = scanner.nextLong();
        long x = scanner.nextLong();
        System.out.println(n + f(x, n - x));
    }
}

Python 代码：

def f(a, b):
    if a > b:
        a, b = b, a
    d = b // a
    if b % a == 0:
        return (2 * d - 1) * a
    return d * 2 * a + f(a, b % a)

n, x = map(int, input().split())
print(n + f(x, n - x))