问题分析 本题的核心是计算一个矩形容器在装有特定体积的液体时，能倾斜的最大角度，同时确保液体不会溢出。为了实现这一目标，我们需要理解几何特性，并基于三角函数进行计算。 基本条件 - 容器的底面是一个边长为 $25~\mathrm{cm}$ 的正方形，即底面积： $$ S_{\text{base}} = 25 \times 25 = 625~\mathrm{cm}^2 $$ - 容器的高度是 $33~\mathrm{cm}$，因此总容积： $$ V_{\text{total}} = 625 \times 33 = 20625~\mathrm{cm}^3 $$ - 液体体积：$V = 2025~\mathrm{cm}^3$。 dash 将容器沿着底面的一条边缓慢倾斜，我们的目标是计算最大倾斜角，即使得液体刚好到达容器边界但不溢出的最大角度。 解法思路 当容器倾斜时，液体表面可能形成两种不同的几何形状： 1. 三角形情况：如果液体体积较小，表面呈三角形。 2. 梯形情况：如果液体体积较大，表面呈梯形。 判断依据： 假设不倾斜时液体的高度为： $$ h = \frac{V}{S_{\text{base}}} = \frac{2025}{625} = 3.24~\mathrm{cm} $$ - 如果液体高度小于容器高度的一半，那么倾斜后，液体表面是一个直角三角形。 - 如果液体高度超过一半，那么倾斜后，液体表面是一个梯形。 数学推导 1. 三角形情况 当液体表面是三角形时，倾斜角度 $\theta$ 满足： $$ \tan \theta = \frac{\text{底边}}{\text{高}} $$ 其中： - 底边：$b = \frac{2V}{S_{\text{base}}}$ - 高：$H$（容器的高度） 因此： $$ \theta = 90^\circ - \tan^{-1} \left( \frac{b}{H} \right) $$ 2. 梯形情况 如果液体高度更大，它会形成梯形。倾斜时，我们可以用另一种计算方法： $$ \theta = 90^\circ - \tan^{-1} \left( \frac{\text{容器宽度}}{\text{新液面高度}} \right) $$ 其中新液面高度可以从几何关系推导出来。 ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); const double PI = acos(-1); double a, b, x; cin >> a >> b >> x; x /= a; // 计算液体的面积 double st = x * 2 / a - b; // 计算梯形的上底 if (st > 0) { // 液体形成梯形 cout << fixed << setprecision(3) << 90.0 - atan(a / (b - st)) * 180.0 / PI; } else { // 液体形成三角形 a = 2 * x / b; cout << fixed << setprecision(3) << 90.0 - atan(a / b) * 180.0 / PI; } return 0; } ``` ```java import java.util.Scanner; public class TiltAngle { public static void main(String[] args) { Scanner scanner = new Scanner(System.in); double a = scanner.nextDouble(); double b = scanner.nextDouble(); double x = scanner.nextDouble(); scanner.close(); final double PI = Math.acos(-1); x /= a; // 计算液体面积 double st = x * 2 / a - b; // 计算梯形上底 double angle; if (st > 0) { // 液体表面为梯形 angle = 90.0 - Math.toDegrees(Math.atan(a / (b - st))); } else { // 液体表面为三角形 a = 2 * x / b; angle = 90.0 - Math.toDegrees(Math.atan(a / b)); } System.out.printf("%.3f\n", angle); } } ``` ```python import math def max_tilt_angle(a, b, x): PI = math.acos(-1) x /= a # 计算液体面积 st = x * 2 / a - b # 计算梯形的上底 if st > 0: # 液体形成梯形 angle = 90.0 - math.degrees(math.atan(a / (b - st))) else: # 液体形成三角形 a = 2 * x / b angle = 90.0 - math.degrees(math.atan(a / b)) return angle # 读取输入 a, b, x = map(float, input().split()) print(f"{max_tilt_angle(a, b, x):.3f}") ```